Debido a repetidas conversaciones y cambios de impresión con distintas personas profesionales en matemáticas y física, he podido comprobar como no mostraban (o al menos esa era mi interpretación) entender en profundidad la geometría compleja; si bien, por otro lado, dominaban sobradamente en muchos casos su manejo y aplicaciones (desde luego, mucho mejor que yo).
No se si esto es culpa del sistema de enseñanza o simplemente el entendimiento de la geometría compleja es un asunto que está tan en pañales como para que se dé esta circunstancia.
De cualquier manera, y como hago con todo lo que me propongo abordar y nunca acabar de esta afición mia, me animo a tomarme un tiempo para intentar explicar de la manera en que soy capaz de hacerlo, el significado y transcendencia de la dimensionalidad de los espacios, o mejor dicho, marcos complejos.
Tenemos un marco de naturaleza espacial D:3. En él podemos representar una recta concreta a. Ni siquiera necesitamos formatear este espacio para, mentalmente, situar esta recta en dicho espacio. De hecho, el determinar unas coordenadas de referencia con su respectiva métrica es algo artificial que ponemos con propósitos prácticos para manejarnos mejor con las herramientas matemáticas en ese espacio.
Si tomamos un punto concreto de esa recta Real y formamos una recta perpendicular b, Descubrimos que tenemos infinitas orientaciones posibles para ese propósito dentro del marco en el que hemos concretado la recta inicial. Y en consecuencia, tenemos infinitos posibles planos reales a formar con ambas rectas, dependiendo de la orientación de b, y dandose la propiedad de que a estaría en todos los infinitos planos posibles.
También podemos entender que entre todos estos infinitos planos podemos abarcar todo el espacio D:3 del que forman parte. Podemos interpretarlos, entenderlos como simultaneos reales en dicho “marco” geométrico.
Pero ahora cambiemos de marco para situarnos en un espacio Real D:1. No sería correcto ni siquiera referirse a la recta a, pues todo el marco en sí es la única recta posible y los únicos grados de libertad estan en los dos sentidos opuestos entre sí de dicha recta. No existe la posibilidad de la idea o concepto de “perpendicularidad”.
Pero con este marco unidimensional real podemos componer un marco D:n superior inimaginable, un parco complejo.
Para ello tenemos que asumir como lógico el que puedan existir marcos de dimensionalidad superior a la asumible por nuestra capacidad de interpretación directa en cada caso. Es decir, que si asumimos que nos encontramos en un marco de análisis real D:n, aceptamos también la posibilidad de que este marco pueda formar parte de la estructura de infinitos marcos D:(n+x), siendo x cualquier nº N y formando un conjunto de posibilidades expresado con la función de x para (n+x) dimensiones.
Pero nos vamos a centrar en la opción más simple, en la que, siendo n=1 y real, y x=1 e inimaginable (imaginario i), componemos un espacio unidimensional D:1 formando parte de un marco inimaginable D:(1+i)... el habitual plano complejo.
Se nos enseña y estamos acostumbrados a interpretar este espacio complejo en gráficos con dos coordenadas; una representando a la dimensión real y la otra a la imaginaria. Y partiendo de aquí se definen las propiedades vectoriales y de todo tipo de operatividad de este marco.
Pero debemos tener en cuenta que su representación gráfica es incorrecta como tal. Es la representación de un plano real, no complejo. La coordenada imaginaria (inimaginable) pasa a ser real y por lo tanto imaginable, al concretarla en una de sus infinitas posibilidades de “ortogonalidad”, pasando a ser una de ellas la elegida como “perpendicular”.
Un verdadero marco del plano complejo consta de una única coordenada representable gráficamente, la real y una coordenada inimaginable, por carecer de orientación perpendicular posible al espacio real representado; pero que se asume como una coordenada ortogonal a dicho espacio real con las obligadas características de indefinible gráficamente, de estar fuera del marco gráfico.
Desde un marco D:3, anteriormente ya hemos representado una recta real a y hemos podido darnos cuenta de que existen infinitas posibilidades de representar una recta real perpendicular b. De esta manera podemos entender la incertidumbre de una coordenada o recta imaginaria b=i para un marco real D:1, en el que la perpendicular a su única dimensión no se contempla.
En general, deberíamos considerar a la ortogonalidad de cualquier espacio D:n como imaginaria para un marco superior. Pero además debemos tener en cuenta que este marco superior complejo e inimaginable espacialmente, no corresponde a un marco real superior D:(n+1), si no a infinitos posibles D:(n+1); o sea, a un marco complejo D:(n+i).
Y de aquí podemos precisar mejor esta incertidumbre con un plano ortogonal en el que n sea el eje de coordenadas (el punto O), y en el que definir si se tiene la información suficiente, la densidad de probabilidad para cada posible orientación de la recta o coordenada ortogonal i como recta real b.
Este plano sería probabilístico, y como plano en sí sería solo un artificio. La realidad es i como coordenada inimaginable.
Así pues, para entender lo naturales y lógicas que son estas propiedades, debemos entender la verdadera naturaleza de los espacios complejos y así encontrar completamente lógico que la naturaleza tenga que representarse con propiedades matemáticas en marcos y con números complejos.
Al igual que tenemos que admitir la ortogonalidad como opción intermedia entre dos sentidos opuesto; incluido su significado abstracto, sobretodo referido a las signaciones opuestas + - (esto lo trato en este artículo del blog).
Démosle ahora una interpretación física a todo esto. Liberémonos del espacio tal como lo construimos en nuestra consciencia; el espacio que percibimos como sensación de distancias.
Supongamos una partícula que compone una geometría de interacciones con su entorno. Estas propiedades de interacción o geometría las podemos considerar de naturaleza real y asumirla como su espacio, o mejor dicho, su estado real.
Supongamos que existe un marco superior a su estado en el que se encuentran todas las partículas con sus respectivos estados que interaccionan con esas propiedades geométricas, definiéndose las interacciones de cada una en sus respectivos estados actuales. Y digo actuales, porque esos estados son presentes de interacción, de influencia.
El mencionado marco superior contendría a cada estado de cada partícula como un espacio intermedio entre el marco común o superior y un marco de una dimensionalidad inferior, esto con una determinada densidad real de la dimensión diferenciadora entre ambos marcos (una en principio, pues sería mucho más complicado referirse a más de una, aunque sea igual de válido), esta sería i desde el marco de la dimensionalidad inferior como real.
Así pues, cuanta más densidad de dicha dimensión i compone el estado de la partícula en un presente dado, más masa tiene la partícula, más denso es su espacio probabilístico y mas certidumbre alberga.
Dando un paso más, supongamos que dicho estado, con su densidad de certeza respecto a la dimensión que completa el marco en el que interacciona, o sea, densidad de certeza respecto a la dimensión ortogonal a su propio marco real del estado (dimensión i), supongamos que se desplaza dicho estado ortogonalmente a sí mismo, habiendo un continuo cambio de lo qué deja de ser incierto para pasar a ser real y lo que pasa de ser real a ser imaginario y parte de lo incierto para otro estado.
En esto consistiría el tiempo propio de dicha partícula. Más lento cuanto más masa posea la partícula, cuanto más denso en interacciones sea su estado, cuanto más concentrada sea la métrica de las dimensiones espaciales respecto a la métrica de la dimensión ortogonal imaginaria. ¿No os recuerda esto a la geometría relativista?.
Tomando como marco común de todas las partículas que interaccionan en ese mismo marco, al plano complejo, tendríamos que para una partícula dada, la dimensión real representa su estado de interacción, y existiría una densidad de interacción ortogonal a la dimensión real que podríamos interpretarla como “espesor” de dicha dimensión real en el plano complejo. Pero sin olvidar que no hay nada perpendicular que interpretar más allá de ese espesor, pues es incierto e inimaginable.
En este plano complejo de infinitos planos reales, cada partícula con su “espesor” de su dimensión real, compone en el transcurrir del tiempo (dinámica ortogonal al marco real de su estado) un plano real concreto único de interacciones. Y el marco común complejo con el que se definen las propiedades de interacción entre todas las partículas, alberga a todos los planos reales en composición de todos los estados con sus respectivas únicas y particulares orientaciones. Dicho marco es un procedimiento de composición o sucesión de las interacciones con unas propiedades complejas definidas en las propiedades de su geometría dinámica de continua construcción.
Esto lo debemos trasladar al marco D:n dimensional correspondiente para la representación correcta de las propiedades del estado de las partículas. No tiene por qué ser D:(3+1). Es la información y medición que obtenemos de los experimentos la que tiene que compatibilizarse con el marco a elegir como el más correcto.
Cada partícula tiene su propio estado con su propio espacio-tiempo, pero hay un marco superior de naturaleza compleja que podríamos considerar como estado común para todas las partículas que interaccionan dentro de dicho marco; además de poderse descomponer el estado de una partícula en diferenciados subestados de rango dimensional menor con sus respectivos marcos de naturaleza real para sus subpartículas.
Esto no hay que confundirlo con el ejemplo de identificar como elementos componentes de una máquina de coser a cada pieza de esa máquina con su función concreta para que la máquina funcione de una manera determinada pretendida.
No se trata de entender que el estado superior es la suma de los estados que lo componen, porque el estado superior contiene también la incertidumbre dimensional que vincula a sus subestados en esa geometria compleja común, formando una dinámica temporal única común sin la posibilidad de definir un estado espaciotemporal concreto de dimensionalidad inferior. Como tal partícula con su respectivo estado, lo es en la medida en la que no se puede definir con certeza parte alguna diferenciada como subestado; para pretender definir subestado alguno nos saldríamos de este estado común para pasar este a ser el marco complejo de interacción entre el subestado a definir y los demás subestados, definiéndose este subestado como ahora estado de una partícula real definida (subpartícula de la partícula inicial).
Bueno... podría alargarme mucho más con este rollo, pero creo que ya está siendo sobradamente pesado.
Hay toda una linea de interpretación geométrica y abstracta de la ortogonalidad más allá de las dimensiones reales y su propiedad de perpendicularidad, que marca la diferencia entre una geometría real y una geometría compleja; siendo esta, sin duda, mucho más rica y completa en propiedades y posibilidades para entender mejor la naturaleza así como la propia lógica. Y, sin duda por mi parte, el camino unificador entre la física relativista y la física cuántica.
Espero que este escrito denso e indigesto le haya serbido (al menos al lector capaz de aguantarlo hasta el final) para interpretar mejor la geometría compleja y algunas de sus implicaciones en la interpretación física de la naturaleza.
miércoles, 30 de marzo de 2011
domingo, 23 de enero de 2011
"El mundo en rumbo de colisión", por Manfred Max-neef
El Premio Novel Alternativo de Economía Manfred Max-neef dió una charla en la Universidad Internacional de Andalucía sobre la realidad de nuestra sociedad y sus valores, en la que reclama un cambio estructural de los pilares económicos que reinan en la actualidad. Creedme... merece la pena.
Espero que os guste.
Espero que os guste.
miércoles, 19 de enero de 2011
Propuesta de nueva signación y composición de Conjuntos de Números y su transcendencia en el Teorema de Pitágoras
Espero que perdonéis mi atrevimiento al pretender una propuesta de Clasificación de Conjuntos de Números para su aplicación matemática, diferente de la relación existente y aceptada por la comunidad científica, y en general, aplicada en nuestro lenguaje matemático con normalidad e indiferencia.
El como llegué a plantearme esta reestructuración, fue simplemente por falta de herramientas a la hora de interpretar matemáticamente lo que razonaba como lógico y coherente en el entendimiento físico. Sobre todo en cuanto a geometría.
Me vi en la necesidad e distinguir entre números neutros o espaciales y en general autosimétricos y números activos o autoasimétricos (todos los clasificados desde los Reales, excluyendo por lo tanto a los Imaginarios). Me vi en la necesidad, al tener que interpretar un espaciotiempo tetradimensional relativista, y entrar en la coherencia de una geometría de Diagramas de Minkowski en los que aplicar una trigonometría clásica de igualdad triangular, en vez de la hasta ahora aplicada desigualdad triangular.
Pero los detalles de esto se desvían del tema de la propuesta que pretendo exponer en este modesto artículo tomado mas bien como un ensayo.
Solo una advertencia de mi personalidad, no me tiembla el pulso ni un poquito, a la hora de cuestionar y sustituir axiomas si estos dejan de ser lógicos para mí desde un análisis (en este caso) metamatemático.
Es lo que me pasó hace muchos años, cuando me enseñaron por primera vez los números imaginarios y su procedencia de raíz cuadrada de un número negativo.
Desde entonces caí en lo que para mi criterio era una contradicción. Que mientras para la raíz cuadrada de un número positivo, debemos considerar la posibilidad de dos resultados, en principio y sin más condicionantes, igual de válidos {(+a)^(1/2)=+b igual de válido que (+a)^(1/2)=-b}, sin embargo, para la raíz cuadrada de un número negativo, nos permitimos (qué remedio) un único resultado válido al que llamar imaginario (que en mi opinión sería más correcto llamar inimaginable).
Si asumimos como correcto el diseño de un número que no seamos capaces de idealizar, imaginar directamente, para este caso de los nº I; ¿por qué no hacerlo también para el caso de un único resultado válido para la raíz cuadrada de un número positivo?. Podríamos llamarles números neutros, por ejemplo; ya que sería un número tan positivo como negativo (aunque me he decidido finalmente por el término que considero mas descriptivo para los números resultantes de toda raíz cuadrada, “autosimétrico”).
Pero todo esto se quedó en el olvido hasta que, en mi empeño de entender mejor los fundamentos que llevan a la desigualdad triangular de los lados a,b,y c, siendo a el cateto mayor, b el cateto menor, y c la hipotenusa, tal que a^2-b^2=c^2 y los que llevan a la clásica relación trigonométrica, tal que a^2+b^2=c^2
.
Y fue al profundizar en estas cosas cuando me di cuenta de que la “raíz” afectaba tanto a los números negativos como a los positivos en esta condición de autosimetría, dándose resultados de números reales e imaginarios, ambos con la condición de tan positivos como negativos. Con la propiedad de autosimétricos; tan autosimétricos como el 0.
Otra opción era no considerar a la raíz un proceso u operador fundamental, si no una manera singular (factores iguales) de factorizar dentro de un proceso de factorización abierto a todas sus posibilidades coherentes para resultados pertenecientes al conjunto R.
Así podemos decir que (-a)^(1/2)=+b·(-b) y (-a)^(1/2)=-b·(+b), siendo estas, dos de sus posibles factorizaciones; al igual que (+a)^(1/2)=+b·(+b) y (+a)^(1/2)=-b·(-b) son también dos de sus posibles factorizaciones; pero solo en el segundo ejemplo de dan los requisitos necesarios para aplicar la factorización restringida que sería la “raíz”, al no poder factorizarse el primer ejemplo en factores iguales.
Pero hay una diferencia fundamental entre el operador “raíz” y el operador “factorización”. La raíz es un proceso que transforma, cambia el valor total (podría cuestionarse que excepto para casos exclusivos como (+1) y 0, pero no me interesa por ahora entrar en este detalle), mientras que la factorización tiene como condición obligada a cumplir, que el producto de la relación de números resultante de cada posible factorización, dé exactamente el número o valor a operar.
Como no me gusta ponerme límites en la metamatemática excepto los propios de cualquier deducción que me lleve a que una conclusión es ilógica con respecto a sus propios fundamentos como conclusión, admito que la “raíz” es una propuesta de operador matemático de lógica firme mientras no encuentre razones y fundamentos que me demuestren lo contrario; y en principio y por ahora, tomo esta conclusión como un axioma.
Pero, a la vez, tenemos que i^2=i·i=(-1)=(+1)·(-1), luego i·i=(+1)·(-1). Esta no es una simple descripción de dos factorizaciones distintas en cuanto a valor cuantitativo para en valor (-1). De hecho, cuantitativamente, la factorización que hacemos es nula. Pero queda claro que existe distinción cualitativa entre estos factores a comparar. Existe la factorización de la signación, y no solo para factores de distinta relación de factorización de un mismo número, también entre factores de igual valor cuantitativo de una misma factorización; de manera que podemos decir que, mientras para un caso, sus factores son simétricos mutuamente (+1)<->(-1), también tomo como axioma, incluso como parte del anterior axioma admitido, que si bien toda raíz cuadrad dá un único número en valor cuantitativo, éste es en sí mismo y respecto a su valor cualitativo de signación, autosimétrico, distinguiéndose en él partes diferenciadas cualitativamente a la hora de operar. Estas partes pueden ser entre sí simétricas u ortogonales.
¿Es lógico o contrario a su propia lógica de verdad-falsedad el admitir las dos interpretaciones como una misma cosa pero mas rica en matices e información de los números?, ¿estos números con cualidades de autosimetría son de lógica aplicación a la coherencia de la realidad, o nos llevan a interpretaciones absurdas de nuestra realidad, interpretaciones que no corresponden con la experimentación?.
Yo pienso que su lógica existencia es consistente a sí misma, y que con esto bastaría, pero además creo que se da el caso de que lo es escrupulosamente para su aplicación. Incluso da un sentido abstracto de la ortogonalidad menos dependiente de su interpretación espacial de perpendicularidad.
Entro a reordenar y clasificar los Conjuntos de Números.
Complejos---1=>AutoAsimétricos (A)---1-1=>A Reales (AR)---...
---2=>AutoSimétricos (S)---2-1=>S Reales (SR)---...
---2-2=>S Imaginarios o AutoOrtogonales (SI)---...
Siendo un número A cualquier número con signación clásica + o -.
Siendo un número SR cualquier número con el signo (provisionalmente y por buscar algo claramente distinguible) #.
Y siendo un número SI cualquier número con el signo i.
Podríamos decir que todos los números poseen su valor cuantitativo intrínseco |a| y su valor cualitativo como operador +, -, #, i siendo + y - operadores que imponen la propiedad de autoasimetría y # y i operador que impone la propiedad de autosimetría.
El conjunto de nº S tiene dos subconjuntos:
-SR para el que la autosimetría de todos y cada uno de sus elementos es simultanea para todo proceso u operación. Para algunas y solo para algunas aplicaciones podrían llamarse nº espaciales.
-SI para el que la autosimetría de todos y cada uno de sus elementos es no simultanea para todo proceso u operación. Para algunas y solo para algunas aplicaciones podrían llamarse nº temporales o vectoriales.
Para definir mejor las propiedades de los nº RS debemos descomponer el signo # de autosimetría en sus dos sentidos diferenciados de operar en un proceso dado, por ejemplo y provisionalmente ¿, ?.
Lo mismo para el caso de los números SI, con, por ejemplo los dos sentidos \, /.
Para entender mejor esto vamos a suponer que el signo # esta compuesto por una mitad indivisa del signo + y una mitad indivisa del signo -, pero que no conmutan ni se mezclan; de tal manera que en el signo ¿, el reparto o localización de estas mitades es simétrico al reparto del signo ?; esto respecto a su operatividad.
Dándose que
?·?=+
¿·¿=+
¿=+/¿
¿·?=?·¿=-
¿=-/?
¿·+=(+/¿)·+=(+/¿)=(-/?)·+=(-/?)=¿
¿·-=(+/¿)·-=(-/¿)=(-/?)·-=(+/?)=?
La misma relación tendríamos para los signos \ y /, respecto a los signos autoasimétricos + y -.
Pero además de la relación de simetría entre las distintas autosimetrías, tenemos la relación de ortogonalidad entre las distintas autosimetría; para lo que he optado por describir el operador de signación de los números con una relación especifica entre paréntesis que muestra de manera gráfica la relación entre sus componentes, y descartando una distinción menos precisa de solo simetrías caracterizadas por ¿,?; aunque en el caso de los SI al ser de por sí autoortogonales, sería suficiente con los caracteres \ y / en su aplicación \i, /i.
Inclinándome entonces por el tipo de signación que paso a detallar
Son operaciones conmutativas.
Detallando todas las variables posibles tenemos
Pero para visualizar mejor las propiedades de relación entre todos los signos es de gran ayuda la composición de planos complejos para tales fines.
Ya conocemos el plano complejo clásico de coordenadas r de los nº Reales, teniendo desde el punto O en un sentido los +r y en el opuesto los -r; e i de los números Imaginarios, teniendo desde el punto O en un sentido los +i y en el opuesto los -i.
Y teniendo en cuenta que el operador que compone dicho espacio de relación entre coordenadas es en un sentido de giro (+i)/(pi/2), y en el opuesto (-i)/(pi/2). Esto quiere decir que cada 90º hay una influencia de i en los valoras de composición de dicho espacio; a lo que voy a llamar operador de dicho espacio, en los demás espacios de planos complejos a tratar.
Pero hay que tener en cuenta y es importante el hecho de que estos operadores son autosimétricos, y que en el clásico plano complejo, el operador es (-i)=(-1)^(1/2), y para que un número del conjunto SI dé un producto (-r), es necesario que opere con su simétrico, creándose así un plano con simetría entre sus cuartos, lo que da al punto O una identidad singular en el plano, entre otros detalles (también el operador no distingue sentido como tal, lo que da características espaciales al plano). Pero mejor será mostrar gráficamente los planos para visualizar mejor sus propiedades.
1- Plano complejo clásico de coordenadas (r,i) y operador i.
2- Plano complejo mixto de coordenadas (r,#) y operador #. Mixto R. La otra opción es con operador # ortogonal.
3- Plano complejo mixto en autosimetría de coordenadas # ortogonales entre ordenada y abcisa y operador i. Ortogonal SR.
4- Plano complejo mixto en autosimetría de coordenadas i (\i,/i) y operador #. Mixto Simétrico S. está también otra opción con operador # ortogonal.
Hay mas combinaciones posibles, pero creo que con estas será suficiente para que os familiaricéis con este tipo de planos de interacción entre este tipo de valores de signación de los números.
Hay que tener en cuenta que la decisión de considerar un elemento de la signación autosimétrica como + o como – es irrelevante, si bien, una vez tomada la decisión para un proceso dado, deverá respetarse en todo el proceso.
Es especialmente transcendente la propiedad de que si dos números autosimétricos ortogonales entre sí operan dan un autosimétrico-autoortogonal, o sea, i.
La relación entre estos tres números autosimétricos es
de manera que cada uno es el operador que relaciona a los otros dos; cumpliéndose la propiedad de que (+a)^(1/2) sea ortogonal a (+b)^(1/2), y (+c)^(1/2) sea autoortogonal y no ortogonal a ninguno de los otros dos números autosimétricos.
Esto implica y deriva en nuestra interpretación intuitiva espacial, que para el cumplimiento de que el cateto (+a)^(1/2) sea perpendicular al cateto (+b)^(1/2) de un triángulo rectángulo, debe cumplirse la relación de sus cuadrados autoasimétricos (+a)(+b)=(+c), siendo (+c)^(1/2) la hipotenusa del rectángulo.
Existen distintos tipos de relaciones o triangulaciones, dentro de todas las variables posibles, además de la ya mencionada y de la que me he serbido para dar un sentido mas analítico en vez de intuitivo a las propiedades de ortogonalidad del teorema de Pitágoras. Luego está la influencia de los valores cuantitativos de los números S, que si bien modifican la relacion entre los lados del rectángulo, no modifica su relación de ortogonalidad; fundamental para que se cumpla para sus cuadrados de números A que a+b=c.
Otro aspecto importante de todo esto es la singularidad de O, pues cada plano lo es desde cada O. No hay otra referencia para cada plano. Cada plano es la particularidad de cada O particular, lo que hace a cada O una referencia particular.
En este marco, son fundamentales las “referencias”, y es fundamental tener en cuenta que un resultado objetivo no es el que se obtenga desde las mediciones o datos de una referencia, siendo necesarias sus simétricas y de los niveles de simetría necesarios.
Este espacio común que experimentamos como “sensación de espacio” es solo fruto de nuestra composición cerebral capaz de dar una interpretación directa formando una estructura global de multitud de datos obtenidos desde distintas referencias. Digamos que nuestro cerebro diseña un espacio plano, sin O. Pero, ¿existe de verdad o independientemente a nuestra interpretación intuitiva ese espacio neutro?, o ¿solo existe una composición de vectores de interacción entre determinadas referencias con sus propios y exclusivos “espacios de interacción”.
No he tratado en este “borrador” las propiedades aditivas de estos números con signación de autosimetría, ya que esto implica profundizar respecto al concepto de “referencia” y su implicación en estos números como operadores. De hecho, un aspecto importante es tener en cuenta que la adición implica que cada elemento u operador tenga identidad particular y exclusiva. Esto nos lleva a la descomposición de cada número autosimétrico operador en dos autoasimétricos simétricos entre sí.
Tal es el caso en el ejemplo del diferencial del cuadrivector ds en Relatividad Especial, para el que desde cada Sistema Referencial Inercial, todo punto de medición u observación en el espaciotiempo, para cada objeto a observar, existe su punto espaciotemporal simétrico a dicha observación, y si bien no implica para los calculos observados desde cada punto, en los que se a de tener en cuenta gamma de Lorentz; sin embargo, es fundamental en mi opinión compensar estas medidas con sus simétricas desde el mismo Sistema Referencial Inercial, para calcular tiempos y espacios propios del estado inercial del cuerpo a observar.
Por ahora, solo me he limitado a desarrollar la parte más implicada en el Teorema de Pitágoras.
También se deduce de esto que este método se pueda aplicar a raices de cualquier rango, así como a composición de espacios de signación de cualquier dimensionalidad.
Yo creo que estos nuevos elementos matemáticos (desde luego dentro de una formalización y con las muchas rectificaciones necesarias más allá de este mero ensallo) nos pueden ayudar para llegar a una comprensión mejor de ideas como el espacio-tiempo, teniendo en cuenta la simetria desde distintas referencias de medición (observación), así como un mismo marco de fundamentos comunes para la física Clasica y la Cuántica.
Pero igual es que estoy alucinando en colores, lo que tampoco estaría mal, ¡que coño!.
Es muy probable que todo esto os parezca disparatado. Comprendo que la informalidad con la que está escrito no ayuda mucho a mi pretensión de que os motive algún interes. Pero espero que al menos os haya aportado una perspectiva distinta, que en mayor o menor medida, siempre ayudan a enriquecer nuestra manera de entender las cosas.
Nota- esto se puede considerar como un ensallo literalmente hablando, pues es la primera vez que me molesto en sacarlo fuera de mi cabezota; lo que implica desorden, lenguaje particular de conceptos, detalles olvidados, imprecisión en ciertas cuestiones concretas y la muy posible circunstancia de que si lo leo dentro de unos días, me tendría que sujetar para no cambiar expresiones, matices, interpretaciones, estructura de planteamiento, etc..., como para cualquier cosa que voy poniendo sobre la marcha.
El como llegué a plantearme esta reestructuración, fue simplemente por falta de herramientas a la hora de interpretar matemáticamente lo que razonaba como lógico y coherente en el entendimiento físico. Sobre todo en cuanto a geometría.
Me vi en la necesidad e distinguir entre números neutros o espaciales y en general autosimétricos y números activos o autoasimétricos (todos los clasificados desde los Reales, excluyendo por lo tanto a los Imaginarios). Me vi en la necesidad, al tener que interpretar un espaciotiempo tetradimensional relativista, y entrar en la coherencia de una geometría de Diagramas de Minkowski en los que aplicar una trigonometría clásica de igualdad triangular, en vez de la hasta ahora aplicada desigualdad triangular.
Pero los detalles de esto se desvían del tema de la propuesta que pretendo exponer en este modesto artículo tomado mas bien como un ensayo.
Solo una advertencia de mi personalidad, no me tiembla el pulso ni un poquito, a la hora de cuestionar y sustituir axiomas si estos dejan de ser lógicos para mí desde un análisis (en este caso) metamatemático.
Es lo que me pasó hace muchos años, cuando me enseñaron por primera vez los números imaginarios y su procedencia de raíz cuadrada de un número negativo.
Desde entonces caí en lo que para mi criterio era una contradicción. Que mientras para la raíz cuadrada de un número positivo, debemos considerar la posibilidad de dos resultados, en principio y sin más condicionantes, igual de válidos {(+a)^(1/2)=+b igual de válido que (+a)^(1/2)=-b}, sin embargo, para la raíz cuadrada de un número negativo, nos permitimos (qué remedio) un único resultado válido al que llamar imaginario (que en mi opinión sería más correcto llamar inimaginable).
Si asumimos como correcto el diseño de un número que no seamos capaces de idealizar, imaginar directamente, para este caso de los nº I; ¿por qué no hacerlo también para el caso de un único resultado válido para la raíz cuadrada de un número positivo?. Podríamos llamarles números neutros, por ejemplo; ya que sería un número tan positivo como negativo (aunque me he decidido finalmente por el término que considero mas descriptivo para los números resultantes de toda raíz cuadrada, “autosimétrico”).
Pero todo esto se quedó en el olvido hasta que, en mi empeño de entender mejor los fundamentos que llevan a la desigualdad triangular de los lados a,b,y c, siendo a el cateto mayor, b el cateto menor, y c la hipotenusa, tal que a^2-b^2=c^2 y los que llevan a la clásica relación trigonométrica, tal que a^2+b^2=c^2
.
Y fue al profundizar en estas cosas cuando me di cuenta de que la “raíz” afectaba tanto a los números negativos como a los positivos en esta condición de autosimetría, dándose resultados de números reales e imaginarios, ambos con la condición de tan positivos como negativos. Con la propiedad de autosimétricos; tan autosimétricos como el 0.
Otra opción era no considerar a la raíz un proceso u operador fundamental, si no una manera singular (factores iguales) de factorizar dentro de un proceso de factorización abierto a todas sus posibilidades coherentes para resultados pertenecientes al conjunto R.
Así podemos decir que (-a)^(1/2)=+b·(-b) y (-a)^(1/2)=-b·(+b), siendo estas, dos de sus posibles factorizaciones; al igual que (+a)^(1/2)=+b·(+b) y (+a)^(1/2)=-b·(-b) son también dos de sus posibles factorizaciones; pero solo en el segundo ejemplo de dan los requisitos necesarios para aplicar la factorización restringida que sería la “raíz”, al no poder factorizarse el primer ejemplo en factores iguales.
Pero hay una diferencia fundamental entre el operador “raíz” y el operador “factorización”. La raíz es un proceso que transforma, cambia el valor total (podría cuestionarse que excepto para casos exclusivos como (+1) y 0, pero no me interesa por ahora entrar en este detalle), mientras que la factorización tiene como condición obligada a cumplir, que el producto de la relación de números resultante de cada posible factorización, dé exactamente el número o valor a operar.
Como no me gusta ponerme límites en la metamatemática excepto los propios de cualquier deducción que me lleve a que una conclusión es ilógica con respecto a sus propios fundamentos como conclusión, admito que la “raíz” es una propuesta de operador matemático de lógica firme mientras no encuentre razones y fundamentos que me demuestren lo contrario; y en principio y por ahora, tomo esta conclusión como un axioma.
Pero, a la vez, tenemos que i^2=i·i=(-1)=(+1)·(-1), luego i·i=(+1)·(-1). Esta no es una simple descripción de dos factorizaciones distintas en cuanto a valor cuantitativo para en valor (-1). De hecho, cuantitativamente, la factorización que hacemos es nula. Pero queda claro que existe distinción cualitativa entre estos factores a comparar. Existe la factorización de la signación, y no solo para factores de distinta relación de factorización de un mismo número, también entre factores de igual valor cuantitativo de una misma factorización; de manera que podemos decir que, mientras para un caso, sus factores son simétricos mutuamente (+1)<->(-1), también tomo como axioma, incluso como parte del anterior axioma admitido, que si bien toda raíz cuadrad dá un único número en valor cuantitativo, éste es en sí mismo y respecto a su valor cualitativo de signación, autosimétrico, distinguiéndose en él partes diferenciadas cualitativamente a la hora de operar. Estas partes pueden ser entre sí simétricas u ortogonales.
¿Es lógico o contrario a su propia lógica de verdad-falsedad el admitir las dos interpretaciones como una misma cosa pero mas rica en matices e información de los números?, ¿estos números con cualidades de autosimetría son de lógica aplicación a la coherencia de la realidad, o nos llevan a interpretaciones absurdas de nuestra realidad, interpretaciones que no corresponden con la experimentación?.
Yo pienso que su lógica existencia es consistente a sí misma, y que con esto bastaría, pero además creo que se da el caso de que lo es escrupulosamente para su aplicación. Incluso da un sentido abstracto de la ortogonalidad menos dependiente de su interpretación espacial de perpendicularidad.
Entro a reordenar y clasificar los Conjuntos de Números.
Complejos---1=>AutoAsimétricos (A)---1-1=>A Reales (AR)---...
---2=>AutoSimétricos (S)---2-1=>S Reales (SR)---...
---2-2=>S Imaginarios o AutoOrtogonales (SI)---...
Siendo un número A cualquier número con signación clásica + o -.
Siendo un número SR cualquier número con el signo (provisionalmente y por buscar algo claramente distinguible) #.
Y siendo un número SI cualquier número con el signo i.
Podríamos decir que todos los números poseen su valor cuantitativo intrínseco |a| y su valor cualitativo como operador +, -, #, i siendo + y - operadores que imponen la propiedad de autoasimetría y # y i operador que impone la propiedad de autosimetría.
El conjunto de nº S tiene dos subconjuntos:
-SR para el que la autosimetría de todos y cada uno de sus elementos es simultanea para todo proceso u operación. Para algunas y solo para algunas aplicaciones podrían llamarse nº espaciales.
-SI para el que la autosimetría de todos y cada uno de sus elementos es no simultanea para todo proceso u operación. Para algunas y solo para algunas aplicaciones podrían llamarse nº temporales o vectoriales.
Para definir mejor las propiedades de los nº RS debemos descomponer el signo # de autosimetría en sus dos sentidos diferenciados de operar en un proceso dado, por ejemplo y provisionalmente ¿, ?.
Lo mismo para el caso de los números SI, con, por ejemplo los dos sentidos \, /.
Para entender mejor esto vamos a suponer que el signo # esta compuesto por una mitad indivisa del signo + y una mitad indivisa del signo -, pero que no conmutan ni se mezclan; de tal manera que en el signo ¿, el reparto o localización de estas mitades es simétrico al reparto del signo ?; esto respecto a su operatividad.
Dándose que
?·?=+
¿·¿=+
¿=+/¿
¿·?=?·¿=-
¿=-/?
¿·+=(+/¿)·+=(+/¿)=(-/?)·+=(-/?)=¿
¿·-=(+/¿)·-=(-/¿)=(-/?)·-=(+/?)=?
La misma relación tendríamos para los signos \ y /, respecto a los signos autoasimétricos + y -.
Pero además de la relación de simetría entre las distintas autosimetrías, tenemos la relación de ortogonalidad entre las distintas autosimetría; para lo que he optado por describir el operador de signación de los números con una relación especifica entre paréntesis que muestra de manera gráfica la relación entre sus componentes, y descartando una distinción menos precisa de solo simetrías caracterizadas por ¿,?; aunque en el caso de los SI al ser de por sí autoortogonales, sería suficiente con los caracteres \ y / en su aplicación \i, /i.
Inclinándome entonces por el tipo de signación que paso a detallar
Son operaciones conmutativas.
Detallando todas las variables posibles tenemos
Pero para visualizar mejor las propiedades de relación entre todos los signos es de gran ayuda la composición de planos complejos para tales fines.
Ya conocemos el plano complejo clásico de coordenadas r de los nº Reales, teniendo desde el punto O en un sentido los +r y en el opuesto los -r; e i de los números Imaginarios, teniendo desde el punto O en un sentido los +i y en el opuesto los -i.
Y teniendo en cuenta que el operador que compone dicho espacio de relación entre coordenadas es en un sentido de giro (+i)/(pi/2), y en el opuesto (-i)/(pi/2). Esto quiere decir que cada 90º hay una influencia de i en los valoras de composición de dicho espacio; a lo que voy a llamar operador de dicho espacio, en los demás espacios de planos complejos a tratar.
Pero hay que tener en cuenta y es importante el hecho de que estos operadores son autosimétricos, y que en el clásico plano complejo, el operador es (-i)=(-1)^(1/2), y para que un número del conjunto SI dé un producto (-r), es necesario que opere con su simétrico, creándose así un plano con simetría entre sus cuartos, lo que da al punto O una identidad singular en el plano, entre otros detalles (también el operador no distingue sentido como tal, lo que da características espaciales al plano). Pero mejor será mostrar gráficamente los planos para visualizar mejor sus propiedades.
1- Plano complejo clásico de coordenadas (r,i) y operador i.
2- Plano complejo mixto de coordenadas (r,#) y operador #. Mixto R. La otra opción es con operador # ortogonal.
3- Plano complejo mixto en autosimetría de coordenadas # ortogonales entre ordenada y abcisa y operador i. Ortogonal SR.
4- Plano complejo mixto en autosimetría de coordenadas i (\i,/i) y operador #. Mixto Simétrico S. está también otra opción con operador # ortogonal.
Hay mas combinaciones posibles, pero creo que con estas será suficiente para que os familiaricéis con este tipo de planos de interacción entre este tipo de valores de signación de los números.
Hay que tener en cuenta que la decisión de considerar un elemento de la signación autosimétrica como + o como – es irrelevante, si bien, una vez tomada la decisión para un proceso dado, deverá respetarse en todo el proceso.
Es especialmente transcendente la propiedad de que si dos números autosimétricos ortogonales entre sí operan dan un autosimétrico-autoortogonal, o sea, i.
La relación entre estos tres números autosimétricos es
de manera que cada uno es el operador que relaciona a los otros dos; cumpliéndose la propiedad de que (+a)^(1/2) sea ortogonal a (+b)^(1/2), y (+c)^(1/2) sea autoortogonal y no ortogonal a ninguno de los otros dos números autosimétricos.
Esto implica y deriva en nuestra interpretación intuitiva espacial, que para el cumplimiento de que el cateto (+a)^(1/2) sea perpendicular al cateto (+b)^(1/2) de un triángulo rectángulo, debe cumplirse la relación de sus cuadrados autoasimétricos (+a)(+b)=(+c), siendo (+c)^(1/2) la hipotenusa del rectángulo.
Existen distintos tipos de relaciones o triangulaciones, dentro de todas las variables posibles, además de la ya mencionada y de la que me he serbido para dar un sentido mas analítico en vez de intuitivo a las propiedades de ortogonalidad del teorema de Pitágoras. Luego está la influencia de los valores cuantitativos de los números S, que si bien modifican la relacion entre los lados del rectángulo, no modifica su relación de ortogonalidad; fundamental para que se cumpla para sus cuadrados de números A que a+b=c.
Otro aspecto importante de todo esto es la singularidad de O, pues cada plano lo es desde cada O. No hay otra referencia para cada plano. Cada plano es la particularidad de cada O particular, lo que hace a cada O una referencia particular.
En este marco, son fundamentales las “referencias”, y es fundamental tener en cuenta que un resultado objetivo no es el que se obtenga desde las mediciones o datos de una referencia, siendo necesarias sus simétricas y de los niveles de simetría necesarios.
Este espacio común que experimentamos como “sensación de espacio” es solo fruto de nuestra composición cerebral capaz de dar una interpretación directa formando una estructura global de multitud de datos obtenidos desde distintas referencias. Digamos que nuestro cerebro diseña un espacio plano, sin O. Pero, ¿existe de verdad o independientemente a nuestra interpretación intuitiva ese espacio neutro?, o ¿solo existe una composición de vectores de interacción entre determinadas referencias con sus propios y exclusivos “espacios de interacción”.
No he tratado en este “borrador” las propiedades aditivas de estos números con signación de autosimetría, ya que esto implica profundizar respecto al concepto de “referencia” y su implicación en estos números como operadores. De hecho, un aspecto importante es tener en cuenta que la adición implica que cada elemento u operador tenga identidad particular y exclusiva. Esto nos lleva a la descomposición de cada número autosimétrico operador en dos autoasimétricos simétricos entre sí.
Tal es el caso en el ejemplo del diferencial del cuadrivector ds en Relatividad Especial, para el que desde cada Sistema Referencial Inercial, todo punto de medición u observación en el espaciotiempo, para cada objeto a observar, existe su punto espaciotemporal simétrico a dicha observación, y si bien no implica para los calculos observados desde cada punto, en los que se a de tener en cuenta gamma de Lorentz; sin embargo, es fundamental en mi opinión compensar estas medidas con sus simétricas desde el mismo Sistema Referencial Inercial, para calcular tiempos y espacios propios del estado inercial del cuerpo a observar.
Por ahora, solo me he limitado a desarrollar la parte más implicada en el Teorema de Pitágoras.
También se deduce de esto que este método se pueda aplicar a raices de cualquier rango, así como a composición de espacios de signación de cualquier dimensionalidad.
Yo creo que estos nuevos elementos matemáticos (desde luego dentro de una formalización y con las muchas rectificaciones necesarias más allá de este mero ensallo) nos pueden ayudar para llegar a una comprensión mejor de ideas como el espacio-tiempo, teniendo en cuenta la simetria desde distintas referencias de medición (observación), así como un mismo marco de fundamentos comunes para la física Clasica y la Cuántica.
Pero igual es que estoy alucinando en colores, lo que tampoco estaría mal, ¡que coño!.
Es muy probable que todo esto os parezca disparatado. Comprendo que la informalidad con la que está escrito no ayuda mucho a mi pretensión de que os motive algún interes. Pero espero que al menos os haya aportado una perspectiva distinta, que en mayor o menor medida, siempre ayudan a enriquecer nuestra manera de entender las cosas.
Nota- esto se puede considerar como un ensallo literalmente hablando, pues es la primera vez que me molesto en sacarlo fuera de mi cabezota; lo que implica desorden, lenguaje particular de conceptos, detalles olvidados, imprecisión en ciertas cuestiones concretas y la muy posible circunstancia de que si lo leo dentro de unos días, me tendría que sujetar para no cambiar expresiones, matices, interpretaciones, estructura de planteamiento, etc..., como para cualquier cosa que voy poniendo sobre la marcha.
miércoles, 10 de noviembre de 2010
Mi vinito de maceración carbónica.
Tengo viñedo, como es de esperar en La Rioja. Solo tengo una variedad, “tempranillo” del mejor clon que hay e injertado en un pie de mediana producción y alta resistencia a la sequía.
La cuestión es que vendo la uva a una bodega. La garantía de mi venta está en la calidad que produzco; esto lo tengo muy claro.
Así que no podía permitirme el renunciar a un caldo propio, ecológico y sin tratamiento alguno en su vinificación. Por lo que llevo tiempo haciendo cada año una pequeña cantidad de vino de estas uvas.
El año pasado hice clarete. Es más cómodo de hacer, y da un vino con bastante menos color, algo mas ácido al paladar, de menos cuerpo y algo mas cabezón.
La verdad es que lo considero vino de menor calidad organoleptica. Si bien, traté de dejarlo algo dulce para que asemejase al lambrusco que tanto gusta a las mujeres (al menos a la mía).
Pero... que no, he decidido volver al tinto. Y es que ante un buen tinto tan rico en sabores y aromas... no hay color, y nunca mejor dicho por lo de “clarete”.
Así que decidí en las vendimias seleccionar uvas para hacerme ni tinto particular; Y, además, este año lo he hecho con maceración carbónica (genuino vino riojano de clon varietal y elaboración riojanos donde los haya).
Ayer estuve trasegando “mi vinito”... es un cambio de recipiente con el fín de separar del vino los posos y decantaciones (madres) resultantes del proceso de fermentación.
El proceso de estabilización de componentes está casi en equilibrio, y la primera fermentación está completada, a falta de la transformación maloláctica bacteriana.
En esta fase de formación del vino, no hay mejor vino que el de maceración carbónica (para vinos con cuerpo y taninos). Siendo un vino tan completo como este, la riqueza de sabores y aromas hipnotiza y genera una adicción tremenda (al menos a mí). No necesita sabores a madera para preferirlo a muchos crianzas y reservas. Esto es un privilegio que no estoy dispuesto a desaprovechar. Y que he decidido contar aquí porque me apetecía hacerlo (aunque no os interese a casi nadie).
¡¡Dios... qué bueno que está!!.
¡Tooo pa miii, hala, y que me quiten lo vailao!
Nota: bueno, lo que suele pasar... llevar a las comidas con familiares y amistades, regalar a familiares y amistades, una pequeña cantidad para hacer buena vinagre y el resto al gaznate, jeje.
La cuestión es que vendo la uva a una bodega. La garantía de mi venta está en la calidad que produzco; esto lo tengo muy claro.
Así que no podía permitirme el renunciar a un caldo propio, ecológico y sin tratamiento alguno en su vinificación. Por lo que llevo tiempo haciendo cada año una pequeña cantidad de vino de estas uvas.
El año pasado hice clarete. Es más cómodo de hacer, y da un vino con bastante menos color, algo mas ácido al paladar, de menos cuerpo y algo mas cabezón.
La verdad es que lo considero vino de menor calidad organoleptica. Si bien, traté de dejarlo algo dulce para que asemejase al lambrusco que tanto gusta a las mujeres (al menos a la mía).
Pero... que no, he decidido volver al tinto. Y es que ante un buen tinto tan rico en sabores y aromas... no hay color, y nunca mejor dicho por lo de “clarete”.
Así que decidí en las vendimias seleccionar uvas para hacerme ni tinto particular; Y, además, este año lo he hecho con maceración carbónica (genuino vino riojano de clon varietal y elaboración riojanos donde los haya).
Ayer estuve trasegando “mi vinito”... es un cambio de recipiente con el fín de separar del vino los posos y decantaciones (madres) resultantes del proceso de fermentación.
El proceso de estabilización de componentes está casi en equilibrio, y la primera fermentación está completada, a falta de la transformación maloláctica bacteriana.
En esta fase de formación del vino, no hay mejor vino que el de maceración carbónica (para vinos con cuerpo y taninos). Siendo un vino tan completo como este, la riqueza de sabores y aromas hipnotiza y genera una adicción tremenda (al menos a mí). No necesita sabores a madera para preferirlo a muchos crianzas y reservas. Esto es un privilegio que no estoy dispuesto a desaprovechar. Y que he decidido contar aquí porque me apetecía hacerlo (aunque no os interese a casi nadie).
¡¡Dios... qué bueno que está!!.
¡Tooo pa miii, hala, y que me quiten lo vailao!
Nota: bueno, lo que suele pasar... llevar a las comidas con familiares y amistades, regalar a familiares y amistades, una pequeña cantidad para hacer buena vinagre y el resto al gaznate, jeje.
martes, 26 de octubre de 2010
Manual practico para la construcción de Molinos de Viento
Tuve un profesor, Sebastian Urquía, hace muuuucho muuucho tiempo, que pertenecía al Grupo Ecologista de Tafalla.
En aquellos tiempos El grupo Editó un librito artesanal titulado “Energía Eólica (manual práctico para la construcción de molinos de viento)” creado por Sebastian y su hermano. Un modelo de aerogenerador lo construimos en el centro de estudios y lo instalamos en su chalet.
Estaba bien todo aquello. Aún tengo el librito aquel, que considero una joya que me trae además muchos recuerdos.
Pero hace un tiempo que en el blog indarki han digitalizado el libro para poder bajároslo libremente.
Aplaudo esta iniciativa, y colaboro con ella enlazando desde este blog al acceso desde el que tenéis los enlaces de descarga. Así mismo doy las gracias a los hermanos Urquía por su iniciativa y esfuerzo, así como a los autore del blog que han tenido la paciencia de digitalizarlo y darnos la oportunidad de descargar este manual.
Espero que os guste.
En aquellos tiempos El grupo Editó un librito artesanal titulado “Energía Eólica (manual práctico para la construcción de molinos de viento)” creado por Sebastian y su hermano. Un modelo de aerogenerador lo construimos en el centro de estudios y lo instalamos en su chalet.
Estaba bien todo aquello. Aún tengo el librito aquel, que considero una joya que me trae además muchos recuerdos.
Pero hace un tiempo que en el blog indarki han digitalizado el libro para poder bajároslo libremente.
Aplaudo esta iniciativa, y colaboro con ella enlazando desde este blog al acceso desde el que tenéis los enlaces de descarga. Así mismo doy las gracias a los hermanos Urquía por su iniciativa y esfuerzo, así como a los autore del blog que han tenido la paciencia de digitalizarlo y darnos la oportunidad de descargar este manual.
Espero que os guste.
miércoles, 6 de octubre de 2010
Asimilación de los fundamentos físicos
En este breve escrito, intentaré mostrar resumidamente mi enfoque respecto a los valores a tener en cuenta para el entendimiento real de las cosas y no el exclusivamente matemático.
Desde que empezamos a ser conscientes de nuestro entorno vamos adquiriendo como lógicos los comportamientos que éste nos muestra, cuanto más repetitivos en su fundamento, más lógicos y fundamentales. Y, con el tiempo y el análisis deductivo, adquirimos la capacidad de criterio propio en la observación.
Aún desconocemos los avances en la observación y conocimientos a los que se a llegado en nuestra civilización.
Poco a poco aprendemos a comunicarnos con los demás mediante el lenguaje; pero aún nos queda mucho que asimilar, aprender e interpretar, para poder expresar nuestro criterio del funcionamiento natural de las cosas, mediante el lenguaje.
Y las matemáticas, ¿qué es eso?.
Sinembargo, aprendemos a predecir la trayectoria de una pelota, a colocar el vaso de pie porque si no se vierte el agua, a que necesitamos carrerilla para subir con menos esfuerzo una pequeña cuesta, a que los cuerpos no se traspasan, sino que se empujan,..... y de esta manera tan natural, somos exploradores del conocimiento físico de la realidad de la que somos conscientes.
Si, es un estadio muy básico, pero tambien fundamental.
Gracias al diseño matemático poseemos una herramienta potenciadora de los resultados, muy eficaz para la concreción y para el avance tecnológico. Pero, en mi opinión, no tenemos que desligarnos de ese niño que deducía de manera directa, sin lenguajes de interpretación; porque todos los lenguajes requieren el sacrificio y pérdida de una parte de lo concebido, en su transformación de ideas abstractas a términos concretos pero insuficientes.
El problema que se puede tener es que se acostumbre uno tanto a esos términos concretos , que solamente sepa pensar, tratándose de la materia en cuestión, en esos términos concretos. Esto le da mucha soltura y dominio en un avance horizontal del conocimiento, pero le limita mucho las posibilidades de profundización. Se gana en capacidad de complejidad, pero hay que esforzarse en no perder capacidad abstracta de entendimiento, pues con ello se perdería intensida.
Si desde pequeños se nos adiestrase adecuadamente, desarrollaríamos una capacidad de intensidad de pensamiento tal que en los investigadores punteros no se hubieran dado meteduras de pata, a veces tan evidentes a posteriori.
En este sentido hay que tener mucho cuidado con los tecnicismos; pues, siendo necesarios para el estudio de lo concreto, siempre será insuficiente e incompleta la terminología diseñada. Si no se es capaz de prescindir de ellos en lo fundamental, es porque no se está fundamentando lo suficiente; y terminan sirviendo como un parche que no nos deja ver las lagunas de nuestros fundamentos; los cuales, cuanto más elementales y simples, más fundamentales y repetitivos, o sea, lógicos.
Se podrían tratar muchos temas de manera bastante fundamental sin refugiarse en los tecnicismos.
Por ejemplo, uno de ellos puede ser, las propiedades lógicas de la cuantificación en valores inferiores a infinito y mayores a la cantidad mínima referencial/infinito. Si son valores discontinuos o continuos, absolutos o relativos, reales objetivamente o subjetivamente o incluso simulaciones de la lógica, absolutamente determinados o cuantificables o con un obligado grado de indeterminación, etc... A mi me parece que, en parte, estaríamos debatiendo de los fundamentos en los que basarse la mecánica cuántica y la ondulatoria, y, precisamente, también en parte, de los fundamentos de la Relatividad. Es lo que tiene tratar cuestiones fundamentales.
Lo bueno de esto es que podemos todos aplicar este tipo de pensamiento. Todos somos ese niño que se enfrentaba a experiencias nuevas con cada cosa que hacía y observaba. De manera que todos deducimos que la distancia más corta entre dos puntos y, por lo tanto, de menor consumo de energía, es la linea recta. Y, creerme... aún sigue siendo la linea recta; a pesar de las interpretaciones divulgativas erróneas que algunas veces se hacen interpretando en el espacio las geodésicas curvas.
Todos podemos seguir enriqueciendo nuestro entendimiento del medio natural que es este universo. Que no os intimiden los tecnicismos ni las matemáticas, ¡¡AUPA!!
Desde que empezamos a ser conscientes de nuestro entorno vamos adquiriendo como lógicos los comportamientos que éste nos muestra, cuanto más repetitivos en su fundamento, más lógicos y fundamentales. Y, con el tiempo y el análisis deductivo, adquirimos la capacidad de criterio propio en la observación.
Aún desconocemos los avances en la observación y conocimientos a los que se a llegado en nuestra civilización.
Poco a poco aprendemos a comunicarnos con los demás mediante el lenguaje; pero aún nos queda mucho que asimilar, aprender e interpretar, para poder expresar nuestro criterio del funcionamiento natural de las cosas, mediante el lenguaje.
Y las matemáticas, ¿qué es eso?.
Sinembargo, aprendemos a predecir la trayectoria de una pelota, a colocar el vaso de pie porque si no se vierte el agua, a que necesitamos carrerilla para subir con menos esfuerzo una pequeña cuesta, a que los cuerpos no se traspasan, sino que se empujan,..... y de esta manera tan natural, somos exploradores del conocimiento físico de la realidad de la que somos conscientes.
Si, es un estadio muy básico, pero tambien fundamental.
Gracias al diseño matemático poseemos una herramienta potenciadora de los resultados, muy eficaz para la concreción y para el avance tecnológico. Pero, en mi opinión, no tenemos que desligarnos de ese niño que deducía de manera directa, sin lenguajes de interpretación; porque todos los lenguajes requieren el sacrificio y pérdida de una parte de lo concebido, en su transformación de ideas abstractas a términos concretos pero insuficientes.
El problema que se puede tener es que se acostumbre uno tanto a esos términos concretos , que solamente sepa pensar, tratándose de la materia en cuestión, en esos términos concretos. Esto le da mucha soltura y dominio en un avance horizontal del conocimiento, pero le limita mucho las posibilidades de profundización. Se gana en capacidad de complejidad, pero hay que esforzarse en no perder capacidad abstracta de entendimiento, pues con ello se perdería intensida.
Si desde pequeños se nos adiestrase adecuadamente, desarrollaríamos una capacidad de intensidad de pensamiento tal que en los investigadores punteros no se hubieran dado meteduras de pata, a veces tan evidentes a posteriori.
En este sentido hay que tener mucho cuidado con los tecnicismos; pues, siendo necesarios para el estudio de lo concreto, siempre será insuficiente e incompleta la terminología diseñada. Si no se es capaz de prescindir de ellos en lo fundamental, es porque no se está fundamentando lo suficiente; y terminan sirviendo como un parche que no nos deja ver las lagunas de nuestros fundamentos; los cuales, cuanto más elementales y simples, más fundamentales y repetitivos, o sea, lógicos.
Se podrían tratar muchos temas de manera bastante fundamental sin refugiarse en los tecnicismos.
Por ejemplo, uno de ellos puede ser, las propiedades lógicas de la cuantificación en valores inferiores a infinito y mayores a la cantidad mínima referencial/infinito. Si son valores discontinuos o continuos, absolutos o relativos, reales objetivamente o subjetivamente o incluso simulaciones de la lógica, absolutamente determinados o cuantificables o con un obligado grado de indeterminación, etc... A mi me parece que, en parte, estaríamos debatiendo de los fundamentos en los que basarse la mecánica cuántica y la ondulatoria, y, precisamente, también en parte, de los fundamentos de la Relatividad. Es lo que tiene tratar cuestiones fundamentales.
Lo bueno de esto es que podemos todos aplicar este tipo de pensamiento. Todos somos ese niño que se enfrentaba a experiencias nuevas con cada cosa que hacía y observaba. De manera que todos deducimos que la distancia más corta entre dos puntos y, por lo tanto, de menor consumo de energía, es la linea recta. Y, creerme... aún sigue siendo la linea recta; a pesar de las interpretaciones divulgativas erróneas que algunas veces se hacen interpretando en el espacio las geodésicas curvas.
Todos podemos seguir enriqueciendo nuestro entendimiento del medio natural que es este universo. Que no os intimiden los tecnicismos ni las matemáticas, ¡¡AUPA!!
martes, 21 de septiembre de 2010
REVISIÓN DEL EJP. DE LA DIAGONAL DE GEORG CANTOR
Georg Cantor fue un brillante matemático que aportó, entre otras cosas, grandes avance en el conocimiento y manejo del infinito en las matemáticas. Muy hábil en el manejo de la lógica.
Un gran hallazgo de Cantor fue que el conjunto de todos los decimales (es decir, los racionales y lo irracionales), constituyen un infinito mayor que el de los números naturales, y, en la misma medida, de las fracciones.
La esencia de la demostración de Cantor es que, si los decimales fueran solamente tan numerosos como los naturales, entonces sería posible contar o marcar a todos los decimales, uno por uno, con los números enteros, 1, 2, 3, 4, ….. El orden concreto no importa.
Cantor indicó cómo se puede construir otro decimal que no estará presente en ningún lugar de la columna formada por todos los números decimales, que a su vez se asocian, uno por uno, a los números enteros, también en su totalidad; contradiciendo así el supuesto de que se puede ir numerando todos los decimales uno por uno.
Vamos al ejp. de la diagonal de Cantor:
Formamos una columna con la lista de todos los números decimales. Lógicamente, estos son los que abarcan la totalidad de valores comprendidos entre el 0 y el 1, estos excluidos de la lista.
En cada fila de la columna solo ha de haber un número (el orden puede ser aleatorio) y lo podemos marcar o asociar con un número natural, no teniéndose que repetir en la columna ninguno de los dos números.
La columna estaría compuesta por infinitas filas de un numero natural asociado a un número decimal.
Ahora, empezando desde la primera fila, cogemos la primera cifra del número decimal para pasar a ser la primera cifra del número a extraer. De la fila siguiente, cogemos la segunda cifra para pasar a ser la segunda del número a extraer. De la siguiente, la tercera cifra para formar parte de número a extraer en su tercera cifra. Y así en un proceso infinito; pues estos números los expresamos con la totalidad de sus cifras, por muchos ceros que formen parte de ellos.
Con este método compondríamos un número el cual no podemos demostrar que no forma parte del conjunto formado por la columna, o sea de los números decimales asociados uno a uno a los naturales.
1- 0,8745666639..........
2- 0,1988835620..........
3- 0,0789360016..........
4- 0,5563987229..........
5- 0,9000243871..........
6- 0,3387627692..........
7- 0,9119471683..........
8- 0,8768000467..........
9- 0,7464836537..........
10- 0,2444385622..........
11- 0,0006498324..........
El número extraído es 0,8983221432.......... Pero si bien, no podemos demostrar que este número no pertenece a la infinita columna de números decimales de infinitas cifras; sí que podemos modificarlo de tal manera que nos garanticemos que el número resultante de la modificación no coincida en cada cifra al número del que se ha extraído esta cifra.
Podemos utilizar un método simple, por ejemplo sumar una unidad a cada cifra del número extraído, excepto si es 9, que la cambiaremos por el 0, esto en toda su composición infinita de cifras. Resultando el número decimal 0,9094332543..........
Ahora sabemos que este nuevo número no es igual al primero de la columna porque la primera cifra del número no coincide con la primera de este. También podemos decir lo mismo del segundo número de la columna al asegurarnos de que la segunda cifra del número cambiado tampoco coincida con la segunda de este. Y así consecutivamente con todos los números de la columna. Números que son la totalidad de decimales que hemos relacionado con los naturales en un proceso infinito hasta cubrir su totalidad, su infinito.
Pero este nuevo número sigue siendo decimal y está fuera de los relacionados uno a uno con los naturales. Además podemos construir por este método infinitos números que no estén en esa lista. Y esto demostraría que el conjunto infinito de números decimales es mayor que el conjunto infinito de números naturales; por lo que no se pueden asociar uno a uno los naturales con los decimales de tal manera que la totalidad de los naturales abarquen la totalidad de los decimales. Lo que implica que existen dentro de la lógica, la posibilidad de infinitos mayores unos de otros.
La famosa diagonal de Cantor es un ejp. que se fundamenta en un proceso de sucesión de cambio del valor de las cifras, refiriéndose a cifras concretas finitas, localizaciones en el número concretas y todo ello en un desarrollo infinito del proceso.
En este método, Cantor, no tiene en cuenta la naturaleza algebraica del sistema numérico del que se sirve; y que, sin embargo, es fundamental para aplicar correctamente el ejp.
La composición algebraica que utiliza es 0*10^0 + a*10*(-1) + b*10^(-2) + c*10^(-3) + d*10^(-4) + ........ en un desarrollo infinito, expresándolo 0,abcd.......
Posteriormente forma una columna con un solo número decimal de infinitas cifras en cada fila de la columna. Y no es consciente de que las propiedades algebraicas de estos números hacen que la forma de dicha columna, es en su totalidad de infinita longitud vertical respecto a su longitud horizontal.
Me explico. Siguiendo el mismo procedimiento de expresar cifras concretas y localizaciones concretas de estas que utilizó Cantor, tenemos, que el sistema algebraico utilizado, conforme ampliamos una cifra en la precisión de los números a tomar en la columna, debido a que tenemos 10 valores de cifra posibles en la composición de ese número 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, aumentaríamos en la composición de números de la columna en cada número concretado, por ejp. 0,345....... nueve números concretos más a lo vertical, que serían
0,345-- 0,3450
0,3451 -1
0,3452 -2
0,3453 -3
0,3454 -4
0,3455 -5
0,3456 -6
0,3457 -7
0,3458 -8
0,3459 -9
mientra que solamente se a aumentado la concreción horizontalmente en una cifra.
La cuestión es que esos nueve números de más concretados forman parte de los relacionados con los naturales uno a uno, mientras que para utilizar en la diagonal, Cantor solo puede hacerlo con uno, ya que utiliza la relación una cifra siguiente de una fila de la columna siguiente. Un paso en horizontal con uno en vertical, y asume erróneamente que esta con este método cubriendo todos los números relacionados con los naturales.
Pero no es cierto, ya que las nueve variaciones restante son tan concretas y asociables a los naturales como la tomada en el ejemplo, de hecho son en concreto 9 más, asociables a los números naturales n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6, n+7, n+8, n+9.
El desarrollo del método de concreción de la columna de todos los números decimales hace que estos crezcan en su cantidad exponencialmente con base diez, en este caso y debido a utilizar el sistema numérico decimal; mientras que los números a poder utilizar, erróneamente, como el total de los decimales que componen la columna con el método de la diagonal, es lineal, lo que hace que en el desarrollo infinito del proceso de concreción de los valores numéricos de la columna, la cantidad a poder utilizar con el método de Cantor sea infinitésima respecto a la totalidad de números que la componen. Muy importante es decir que en el proceso de concreción de los números que la componen, en todo momento podemos asociarlos a números naturales.
De una manera visual, aunque no formal pero sí ilustrativa podríamos imaginarnos esa columna como un hilo que baja sin fin alguno hacia el infinito, pero que si lo pudiéramos abarcar en su longitud total, lo percibiríamos con una anchura infinitesimal, en lo que un corte a 45º abarcaría una longitud del hilo también infinitesimal respecto a la totalidad de su longitud. Mientras que Cantor creía poder cortar el hilo de tal manera que abarcase el corte la totalidad de su longitud, y después demostrar que puede crear tramos longitudinales ya existentes pero ocultos en la asociación de esta longitud con la de un hilo similar compuesto por la columna de números naturales.
Pero si tenemos en cuenta que su corte solo puede ser de longitud infinitésima, quedarían infinitos números decimales asociados a números naturales que no pertenecen al corte; y que al modificar el número extraído, no podríamos demostrar con ello que éste no pertenece a la columna, al hilo. Solo no pertenece al tramo del corte utilizado, al tramo de la columna utilizado para tomar el número mediante la diagonal.
Para demostrar el error de composición del ejp. de Cantor, podemos además plantearnos la composición algebraica completa (...... + d+10^3 + c*10^2 + b*10^1 + a*10^0) de los números naturales y formar con ellos una columna, colocándolos aleatoriamente si se quiere. Y posteriormente utilizar el mismo método de la diagonal
..........845036 -1
..........000436 -2
..........635092 -3
..........000004 -4
..........312857 -5
..........750925 -6
y extraer las cifras para formar el número .......710036, el cual alteramos sumando una unidad a cada cifra, para asegurarnos de que no está en la columna que compone el total de números naturales, mientra que, precisamente, hemos relacionado, uno a uno, toda la columna con los, también, números naturales expresados de manera reducida y práctica.
¿Cómo puede ser lógico que no estén comprendidos en sí mismos? Está fallando algo fundamental, ¿no?.
Veámoslo ahora con un ejemplo que los relacione uno a uno con su igual en la expresión simplificada y práctica
..........000001 -1
..........000002 -2
..........000003 -3
..........000004 -4
...................... -..
O de manera aleatoria
..........003475 -3475
..........329996 -329996
..........000421 -421
..........009300 -930
..........000007 -7
...................... -......
Si interpretamos el método de la diagonal correctamente podemos entender que no nos vale para demostrar diferencia alguna entre valores totales de los conjuntos de los infinitos números decimales y naturales, por ejp., al no demostrar que se pueda crear un número decimal que no pertenezca a los ya relacionados uno a uno con los naturales.
Para hacerlo más fácil pondré una composición de la columna ordenada en vez de aleatoria, y cada fila esta compuesta por un subconjunto del conjunto de números decimales, que comprende a todos los números decimales que contienen esas cifras concretas en ese orden concreto
0,00... -1
0,01... -2
0,02... -3
0,03... -4
0,04... -5
0,05... -6
.......... -..
0,12... -13
0,13... -14
.......... -....
extrayendo las cifras formamos el subconjunto de números decimales que contienen las dos primeras cifras con los valores 0,01......, y modificando las cifras concretadas aumentando, por ejp. una unidad cada cifra, excepto con el 9 que lo sustituiríamos por el 0, nos da el subconjunto de números decimales formados por sus dos primeras cifras con los valores concretos 0,12....... Pero en realidad, no hemos creado ningún conjunto de números decimales que no está en la columna de conjuntos relacionados uno a uno por los números naturales; puesto que el subconjunto resultante vemos que está asociado al número natural 13, dentro de un total de 10^2 subconjuntos, de los que solo hemos utilizado, en realidad para la diagonal el exponente, 2.
Y este proceso de precisión lo debemos desarrollar infinitamente en el intento de abarcar las infinitas cifras de las que se componen los números decimales. Formando subconjuntos cada vez más concretos cuantitativamente, pero aún así infinitos en número de elementos.
Este proceso evoluciona hacia la concreción de esta manera
Subconjuntos que componen Subconjuntos utilizados
la columna asociada a para la diagonal
los naturales
10^1 1
10^2 2
10^3 3
......... ..
10^738 738
............ ......
Ni que decir tiene que con una concreción de cifras desorbitada, la diferencia entre los subconjuntos que componen la totalidad de la columna y los que se utilizan en el método de la diagonal como la supuesta totalidad de la columna, es inmensa.
Concluyendo. El ejp. de la diagonal de Cantor solo incluye en dicha diagonal una parte infinitésima del total de la columna a formar por la totalidad de números decimales asociables uno a uno a los naturales (por ejp.), con lo que, el poder formar un número decimal que no se encuentre entre los utilizados para la diagonal mediante este método, no demuestra que no esté entre el total de los números asociados a los naturales que componen dicha columna. Esto lo invalida para poder demostrar que esta relación biyectiva es cierta, ni para reducir el ejp. al absurdo por autoinvalidarse dicha relación biyectiva.
Nota, no he hecho en esta exposición ningún comentario respecto al hecho de pretender asumir el infinito como un valor cuantitativo posible dentro de la lógica; ni, por lo tanto, tampoco he entrado en cuestionar si es posible asumir lógicamente conjuntos infinitos en cantidad pero de distinto tamaño o cantidad infinita, infinitos mayores que otros.
No lo he hecho porque no considero el concepto infinito asumible lógicamente como una propiedad cuantitativa, sino cualitativa. Lo considero como una condición de cualquier proceso de naturaleza continua. Un ejp. claro son los fractales.
Pero, además la única pretensión de este escrito es razonar y demostrar con la lógica que Georg Cantor aplicó erróneamente el ejp. de la diagonal, interpretando con ello conclusiones erróneas en la relación en este ejp. entre los distintos conjuntos de números de infinitos elementos. Sin entrar a pretender concretar característica alguna de dichos conjuntos en base a la rectificación de dicho ejemplo. Simplemente lo invalida para demostración alguna de este tipo.
Esto no quita que mi opinión personal respecto a la existencia de infinitos superiores a otros sea que sí, y en el caso concreto de los números R respecto a los N considero que el conjunto de los R contiene infinitos subconjuntos asociables cada uno a la totalidad del conjunto de números N.
Otra cosa es referirnos al cardinal de cada uno de esos conjuntos y subconjuntos, que es harina de otro costado.
Un gran hallazgo de Cantor fue que el conjunto de todos los decimales (es decir, los racionales y lo irracionales), constituyen un infinito mayor que el de los números naturales, y, en la misma medida, de las fracciones.
La esencia de la demostración de Cantor es que, si los decimales fueran solamente tan numerosos como los naturales, entonces sería posible contar o marcar a todos los decimales, uno por uno, con los números enteros, 1, 2, 3, 4, ….. El orden concreto no importa.
Cantor indicó cómo se puede construir otro decimal que no estará presente en ningún lugar de la columna formada por todos los números decimales, que a su vez se asocian, uno por uno, a los números enteros, también en su totalidad; contradiciendo así el supuesto de que se puede ir numerando todos los decimales uno por uno.
Vamos al ejp. de la diagonal de Cantor:
Formamos una columna con la lista de todos los números decimales. Lógicamente, estos son los que abarcan la totalidad de valores comprendidos entre el 0 y el 1, estos excluidos de la lista.
En cada fila de la columna solo ha de haber un número (el orden puede ser aleatorio) y lo podemos marcar o asociar con un número natural, no teniéndose que repetir en la columna ninguno de los dos números.
La columna estaría compuesta por infinitas filas de un numero natural asociado a un número decimal.
Ahora, empezando desde la primera fila, cogemos la primera cifra del número decimal para pasar a ser la primera cifra del número a extraer. De la fila siguiente, cogemos la segunda cifra para pasar a ser la segunda del número a extraer. De la siguiente, la tercera cifra para formar parte de número a extraer en su tercera cifra. Y así en un proceso infinito; pues estos números los expresamos con la totalidad de sus cifras, por muchos ceros que formen parte de ellos.
Con este método compondríamos un número el cual no podemos demostrar que no forma parte del conjunto formado por la columna, o sea de los números decimales asociados uno a uno a los naturales.
1- 0,8745666639..........
2- 0,1988835620..........
3- 0,0789360016..........
4- 0,5563987229..........
5- 0,9000243871..........
6- 0,3387627692..........
7- 0,9119471683..........
8- 0,8768000467..........
9- 0,7464836537..........
10- 0,2444385622..........
11- 0,0006498324..........
El número extraído es 0,8983221432.......... Pero si bien, no podemos demostrar que este número no pertenece a la infinita columna de números decimales de infinitas cifras; sí que podemos modificarlo de tal manera que nos garanticemos que el número resultante de la modificación no coincida en cada cifra al número del que se ha extraído esta cifra.
Podemos utilizar un método simple, por ejemplo sumar una unidad a cada cifra del número extraído, excepto si es 9, que la cambiaremos por el 0, esto en toda su composición infinita de cifras. Resultando el número decimal 0,9094332543..........
Ahora sabemos que este nuevo número no es igual al primero de la columna porque la primera cifra del número no coincide con la primera de este. También podemos decir lo mismo del segundo número de la columna al asegurarnos de que la segunda cifra del número cambiado tampoco coincida con la segunda de este. Y así consecutivamente con todos los números de la columna. Números que son la totalidad de decimales que hemos relacionado con los naturales en un proceso infinito hasta cubrir su totalidad, su infinito.
Pero este nuevo número sigue siendo decimal y está fuera de los relacionados uno a uno con los naturales. Además podemos construir por este método infinitos números que no estén en esa lista. Y esto demostraría que el conjunto infinito de números decimales es mayor que el conjunto infinito de números naturales; por lo que no se pueden asociar uno a uno los naturales con los decimales de tal manera que la totalidad de los naturales abarquen la totalidad de los decimales. Lo que implica que existen dentro de la lógica, la posibilidad de infinitos mayores unos de otros.
La famosa diagonal de Cantor es un ejp. que se fundamenta en un proceso de sucesión de cambio del valor de las cifras, refiriéndose a cifras concretas finitas, localizaciones en el número concretas y todo ello en un desarrollo infinito del proceso.
En este método, Cantor, no tiene en cuenta la naturaleza algebraica del sistema numérico del que se sirve; y que, sin embargo, es fundamental para aplicar correctamente el ejp.
La composición algebraica que utiliza es 0*10^0 + a*10*(-1) + b*10^(-2) + c*10^(-3) + d*10^(-4) + ........ en un desarrollo infinito, expresándolo 0,abcd.......
Posteriormente forma una columna con un solo número decimal de infinitas cifras en cada fila de la columna. Y no es consciente de que las propiedades algebraicas de estos números hacen que la forma de dicha columna, es en su totalidad de infinita longitud vertical respecto a su longitud horizontal.
Me explico. Siguiendo el mismo procedimiento de expresar cifras concretas y localizaciones concretas de estas que utilizó Cantor, tenemos, que el sistema algebraico utilizado, conforme ampliamos una cifra en la precisión de los números a tomar en la columna, debido a que tenemos 10 valores de cifra posibles en la composición de ese número 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, aumentaríamos en la composición de números de la columna en cada número concretado, por ejp. 0,345....... nueve números concretos más a lo vertical, que serían
0,345-- 0,3450
0,3451 -1
0,3452 -2
0,3453 -3
0,3454 -4
0,3455 -5
0,3456 -6
0,3457 -7
0,3458 -8
0,3459 -9
mientra que solamente se a aumentado la concreción horizontalmente en una cifra.
La cuestión es que esos nueve números de más concretados forman parte de los relacionados con los naturales uno a uno, mientras que para utilizar en la diagonal, Cantor solo puede hacerlo con uno, ya que utiliza la relación una cifra siguiente de una fila de la columna siguiente. Un paso en horizontal con uno en vertical, y asume erróneamente que esta con este método cubriendo todos los números relacionados con los naturales.
Pero no es cierto, ya que las nueve variaciones restante son tan concretas y asociables a los naturales como la tomada en el ejemplo, de hecho son en concreto 9 más, asociables a los números naturales n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6, n+7, n+8, n+9.
El desarrollo del método de concreción de la columna de todos los números decimales hace que estos crezcan en su cantidad exponencialmente con base diez, en este caso y debido a utilizar el sistema numérico decimal; mientras que los números a poder utilizar, erróneamente, como el total de los decimales que componen la columna con el método de la diagonal, es lineal, lo que hace que en el desarrollo infinito del proceso de concreción de los valores numéricos de la columna, la cantidad a poder utilizar con el método de Cantor sea infinitésima respecto a la totalidad de números que la componen. Muy importante es decir que en el proceso de concreción de los números que la componen, en todo momento podemos asociarlos a números naturales.
De una manera visual, aunque no formal pero sí ilustrativa podríamos imaginarnos esa columna como un hilo que baja sin fin alguno hacia el infinito, pero que si lo pudiéramos abarcar en su longitud total, lo percibiríamos con una anchura infinitesimal, en lo que un corte a 45º abarcaría una longitud del hilo también infinitesimal respecto a la totalidad de su longitud. Mientras que Cantor creía poder cortar el hilo de tal manera que abarcase el corte la totalidad de su longitud, y después demostrar que puede crear tramos longitudinales ya existentes pero ocultos en la asociación de esta longitud con la de un hilo similar compuesto por la columna de números naturales.
Pero si tenemos en cuenta que su corte solo puede ser de longitud infinitésima, quedarían infinitos números decimales asociados a números naturales que no pertenecen al corte; y que al modificar el número extraído, no podríamos demostrar con ello que éste no pertenece a la columna, al hilo. Solo no pertenece al tramo del corte utilizado, al tramo de la columna utilizado para tomar el número mediante la diagonal.
Para demostrar el error de composición del ejp. de Cantor, podemos además plantearnos la composición algebraica completa (...... + d+10^3 + c*10^2 + b*10^1 + a*10^0) de los números naturales y formar con ellos una columna, colocándolos aleatoriamente si se quiere. Y posteriormente utilizar el mismo método de la diagonal
..........845036 -1
..........000436 -2
..........635092 -3
..........000004 -4
..........312857 -5
..........750925 -6
y extraer las cifras para formar el número .......710036, el cual alteramos sumando una unidad a cada cifra, para asegurarnos de que no está en la columna que compone el total de números naturales, mientra que, precisamente, hemos relacionado, uno a uno, toda la columna con los, también, números naturales expresados de manera reducida y práctica.
¿Cómo puede ser lógico que no estén comprendidos en sí mismos? Está fallando algo fundamental, ¿no?.
Veámoslo ahora con un ejemplo que los relacione uno a uno con su igual en la expresión simplificada y práctica
..........000001 -1
..........000002 -2
..........000003 -3
..........000004 -4
...................... -..
O de manera aleatoria
..........003475 -3475
..........329996 -329996
..........000421 -421
..........009300 -930
..........000007 -7
...................... -......
Si interpretamos el método de la diagonal correctamente podemos entender que no nos vale para demostrar diferencia alguna entre valores totales de los conjuntos de los infinitos números decimales y naturales, por ejp., al no demostrar que se pueda crear un número decimal que no pertenezca a los ya relacionados uno a uno con los naturales.
Para hacerlo más fácil pondré una composición de la columna ordenada en vez de aleatoria, y cada fila esta compuesta por un subconjunto del conjunto de números decimales, que comprende a todos los números decimales que contienen esas cifras concretas en ese orden concreto
0,00... -1
0,01... -2
0,02... -3
0,03... -4
0,04... -5
0,05... -6
.......... -..
0,12... -13
0,13... -14
.......... -....
extrayendo las cifras formamos el subconjunto de números decimales que contienen las dos primeras cifras con los valores 0,01......, y modificando las cifras concretadas aumentando, por ejp. una unidad cada cifra, excepto con el 9 que lo sustituiríamos por el 0, nos da el subconjunto de números decimales formados por sus dos primeras cifras con los valores concretos 0,12....... Pero en realidad, no hemos creado ningún conjunto de números decimales que no está en la columna de conjuntos relacionados uno a uno por los números naturales; puesto que el subconjunto resultante vemos que está asociado al número natural 13, dentro de un total de 10^2 subconjuntos, de los que solo hemos utilizado, en realidad para la diagonal el exponente, 2.
Y este proceso de precisión lo debemos desarrollar infinitamente en el intento de abarcar las infinitas cifras de las que se componen los números decimales. Formando subconjuntos cada vez más concretos cuantitativamente, pero aún así infinitos en número de elementos.
Este proceso evoluciona hacia la concreción de esta manera
Subconjuntos que componen Subconjuntos utilizados
la columna asociada a para la diagonal
los naturales
10^1 1
10^2 2
10^3 3
......... ..
10^738 738
............ ......
Ni que decir tiene que con una concreción de cifras desorbitada, la diferencia entre los subconjuntos que componen la totalidad de la columna y los que se utilizan en el método de la diagonal como la supuesta totalidad de la columna, es inmensa.
Concluyendo. El ejp. de la diagonal de Cantor solo incluye en dicha diagonal una parte infinitésima del total de la columna a formar por la totalidad de números decimales asociables uno a uno a los naturales (por ejp.), con lo que, el poder formar un número decimal que no se encuentre entre los utilizados para la diagonal mediante este método, no demuestra que no esté entre el total de los números asociados a los naturales que componen dicha columna. Esto lo invalida para poder demostrar que esta relación biyectiva es cierta, ni para reducir el ejp. al absurdo por autoinvalidarse dicha relación biyectiva.
Nota, no he hecho en esta exposición ningún comentario respecto al hecho de pretender asumir el infinito como un valor cuantitativo posible dentro de la lógica; ni, por lo tanto, tampoco he entrado en cuestionar si es posible asumir lógicamente conjuntos infinitos en cantidad pero de distinto tamaño o cantidad infinita, infinitos mayores que otros.
No lo he hecho porque no considero el concepto infinito asumible lógicamente como una propiedad cuantitativa, sino cualitativa. Lo considero como una condición de cualquier proceso de naturaleza continua. Un ejp. claro son los fractales.
Pero, además la única pretensión de este escrito es razonar y demostrar con la lógica que Georg Cantor aplicó erróneamente el ejp. de la diagonal, interpretando con ello conclusiones erróneas en la relación en este ejp. entre los distintos conjuntos de números de infinitos elementos. Sin entrar a pretender concretar característica alguna de dichos conjuntos en base a la rectificación de dicho ejemplo. Simplemente lo invalida para demostración alguna de este tipo.
Esto no quita que mi opinión personal respecto a la existencia de infinitos superiores a otros sea que sí, y en el caso concreto de los números R respecto a los N considero que el conjunto de los R contiene infinitos subconjuntos asociables cada uno a la totalidad del conjunto de números N.
Otra cosa es referirnos al cardinal de cada uno de esos conjuntos y subconjuntos, que es harina de otro costado.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)
